= + =. cos ( ) sin ( ) ˆ ˆ ˆ. Άσκηση 4.

Transcript

1 Άσκηση 4 Θεωρείστε και πάλι το σύστημα της άσκησης Τη χρονική στιγμή το σύστημα βρίσκεται στην κατάσταση a (η οποία δεν είναι ιδιοκατάσταση της amilonian) Ποιά είναι η πιθανότητα, μετά από χρόνο, να βρεθεί και πάλι στην ίδια κατάσταση ; Απ: Στην άσκηση βρήκατε : iϕ i e e a iϕ e ϕ b και i e a ϕ iϕ e + + b Επομένως a ( ), b ( ) Άρα i ˆ i i i ε ε e ϕ iε a e a + e + e a e b Επομένως η πιθανότητα να βρεθεί στην κατάσταση a είναι βρεθεί στη b είναι P b ε sin ( ) P a ε cos ( ) και η πιθανότητα να Άσκηση 5 Με τη βοήθεια των τελεστών δημιουργίας και καταστροφής βρείτε τις ιδιοσυναρτήσεις του αρμονικού ταλαντωτή Απ: a ˆ ( X i β β P ), a ( X i P β + β ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ) ( β ) ϕ () aˆ aˆ d a ˆ d a ˆ ( ) Στην πρώτη από τις ασκήσεις σας βρήκατε ότι: ˆ iβ ˆ a ˆ X + P + β δ( ) () β β

2 d (), () ϕ ( ) ϕ ( ) ϕ ( ) d β Ae n n n ( ˆ ) ( ˆ ) ( ˆ ) ϕ( ) n a n a d a n! n! n! n β A β e n/ n/ A d ϕn( ) β e Ηn ( ) n! β d n! β Όπου n ξ / d / ξ e ξ Η n( ξ) e dξ τα πολυώνυμα emie Άσκηση 6 Τα ιδιοανύσματα των τελεστών θέσης και ορμής στην εικόνα Schoendinge καθορίζονται από τις εξισώσεις ˆX και ˆP p p p (α) Ορίστε τα αντίστοιχα ιδιοανύσματα, και p, στην εικόνα eisenbeg (β) Δώστε την ερμηνεία της ποσότητας K () (, ; ),, και δείξτε ότι είναι η λύση της εξίσωσης ( i ) K(, ; ) () η οποία ικανοποιεί τη συνθήκη K(, ;) δ ( ) (γ) Δείξτε ότι η ψ(, ) d K(, ; ) ψ(,) είναι λύση της εξ () και αντίστροφα Απ Ξεκινώντας από την ˆX βρίσκετε αμέσως ότι e Xe e e i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ i i i

3 Ο πρώτος όρος είναι ο τελεστής της θέσης στην εικόνα του eisenbeg : i ˆ i ˆ Xˆ () e Xe ˆ Προφανώς τα ανύσματα, i ˆ e του Σημειώστε ότι για τα εν λόγω ανύσματα ισχύει η σχέση πληρότητας : i ˆ i ˆ i ˆ i ˆ ˆ είναι τα ιδιοανύσματά d,, e d e e Ie Iˆ Με ανάλογο τρόπο θα βρείτε τα ιδιοανύσματα i ˆ p, e p του τελεστή της ορμής στην εικόνα του eisenbeg : i ˆ i ˆ ( ), ( ),, Pˆ e Pe ˆ Pˆ p p p Αφού, είναι μια κατάσταση που σας λέει ότι τη χρονική στιγμή βρίσκεστε στη θέση, η ποσότητα K σας δίνει το πλάτος πιθανότητας να βρεθείτε (, ; ),, στη θέση τη χρονική στιγμή αν είσασταν στη θέση τη χρονική στιγμή Για προφανείς λόγους η ποσότητα αυτή λέγεται διαδότης Μπορείτε να δείτε ότι: (, ; ) ˆ ep[ i ˆ] ˆ i i K d ep[ ˆ] d δ ( ) K(, ;) K(, ;) όπου χρησιμοποιήσαμε την άσκηση και γράψαμε ˆ δ ( ) με + V( ) m Άσκηση 7 Θεωρείστε ένα ελεύθερο σωμάτιο με μάζα m (α) Λύστε τις εξισώσεις κίνησης για τους τελεστές θέσης και ορμής στην εικόνα eisenbeg (β) Βρείτε τη μορφή των παραπάνω τελεστών στην αναπαράσταση θέσης (γ) Βρείτε τις αναμενόμενες τιμές της θέσης και της ορμής τη χρονική στιγμή (δ) Υπολογίστε τους μεταθέτες : [ ˆ ( ), ˆ ( )], [ ˆ ( ), pˆ ( )] και [ ˆ ( ), ˆ ( )] p p

4 Υπ Ξεκινείστε δείχνοντας ότι η εξίσωση eisenbeg d A ˆ () ˆ (), ˆ A d i παίρνει, για ˆ () d το ελεύθερο σωμάτιο, τη μορφή ˆ P d X () με ˆ d P () ή X ˆ () d m d d και προχωρείστε σαν να κάνατε κλασική μηχανική Θα βρείτε ˆ ˆ [ X ˆ ˆ ˆ ˆ ( ), X( )] i, [ P( ), P( )], [ X( ), P( )] i m Άσκηση 8 Θεωρείστε ένα σωμάτιο το οποίο κινείται υπό την επίδραση του αρμονικού δυναμικού V( ) Να επαναλάβετε τα ερωτήματα (α) (δ) της άσκησης (7) (ε) Δείξτε ότι ( Δ) ( Δ) [sin ( ω )] 4m ω Υπ: Δουλεύοντας όπως και πριν θα βρείτε d ˆ ˆ P () X () και d m d P ˆ () ˆ m ω X () d Λύνοντας θα δείτε ότι ˆ ˆ sin( ω) X () ˆ, ˆ () sin( ) ˆ X + P P ω X + cos( ω) Pˆ ˆ ˆ sin ω( ) [ X ( ˆ ˆ ), X( )] i, [ P( ), P( )] i sin ω( ), [ Xˆ ( ), Pˆ ( )] icos ω( )

5 Άσκηση 9 Έστω σωμάτιο το οποίο βρίσκεται υπό την επίδραση κεντρικού δυναμικού V( ) (: οι δυνάμεις εξαρτώνται μόνο από την απόσταση από κάποιο κέντρο) Να βρείτε τη χρονική εξέλιξη της μέσης απόστασης αν το σωμάτιο κινείται (α) σε δύο διαστάσεις (β) σε τρείς διαστάσεις Απ d Ξεκινείστε από την ˆ ˆ, ˆ d i ενδιαφέρει αφού [ ˆ ˆ ] V, ( ) Το ποιό ακριβώς είναι το δυναμικό δεν σας Η amilonian αν γραφεί σε πολικές (για τις δύο διαστάσεις) ή σε σφαιρικές (για τις τρείς διαστάσεις) θα έχει ένα ακτινικό και ένα (ξεχωριστό) γωνιακό μέρος: ˆ ˆ + ˆ angle Το τελευταίο δεν σας αφορά αφού ˆ, ˆ angle Το μόνο που σας ενδιαφέρει είναι το ακτινικό μέρος Σε δύο διαστάσεις αυτό είναι ενώ σε τρείς διαστάσεις είναι ˆ ( D ) + m ˆ ( D 3) + m Άρα d ˆ ˆ, ˆ d i D

6 Για να βρείτε τον μεταθέτη πάρτε μια τυχαία συνάρτηση της απόστασης: ˆ D d D d d D d d D ˆ, f( ) + f( ) + ( f( ) ) + f( ) m d d d d m d Άρα όπου d ˆ p d m ˆ D ( D ) d pˆ i + και d ( 3) d pˆ D i + d ο τελεστής της λεγόμενης ακτινικής ορμής σε δύο και τρείς διαστάσεις αντίστοιχα Άσκηση Έστω A ( A, Ay, A) διάνυσμα στο συνήθη τριδιάστατο χώρο Ας πούμε τώρα ότι στρέφετε το εν λόγω διάνυσμα κατά γωνία α γύρω από τον άξονα Δείξτε ότι οι συνιστώσες θα αλλάξουν σύμφωνα με τον κανόνα: A A A y R( α) A y A A όπου R cos α sin α ( α) sin α cos α ο πίνακας στροφής γύρω από τον άξονα Δείξτε ότι για μικρές γωνίες δα ισχύει ότι δa A A δα( A ) Εξετάστε τι γίνεται όταν το διάνυσμα στραφεί

7 γύρω από τους άξονες και y Απ: Ένας τρόπος να δουλέψετε ξεκινάει από τη σχέση A A + Ayy+ A όπου A A cosϕ sin θ, A Asinϕsin θ, A Acosθ Στη συνέχεια κάνετε την αλλαγή y ϕ ϕ+ α και διαπιστώστε ότι A A cos( ϕ + α) sinθ Acosα Aysin α, A y Asin ( ϕ+ α) sinθ Asinα + A y cosα και A A Συνοψίζοντας τα αποτελέσματά σας θα καταλήξετε στον ζητούμενο κανόνα Για μικρές γωνίες γράψτε cosδα, sinδα δα και θα διαπιστώστε ότι A A Aδα δa A A Aδα και με τον ίδιο τρόπο δ A Aδα, δ A y y y A Αν τώρα θυμηθείτε ότι ( A) ( A A ) A, ( A) ( A A ) ( A) y y y y θα απαντήσετε αμέσως και στο δεύτερο ερώτημα Για τους άλλους άξονες μπορείτε να βρείτε αμέσως το αποτέλεσμα αν κάνετε τις κυκλικές αλλαγές ( y) ( y) ( y) Έτσι μετά το πρώτο βήμα οι άξονες θα αλλάξουν όνομα: y, y, Οι προηγούμενες σχέσεις θα γίνουν τώρα: Συνοψίζοντας θα βρείτε A A cosα A sin α, A A sinα + A cos α, A A R ( α) cos α sin α sin α cosα y y y και με τον ίδιο τρόπο R y cos α sin α ( α) sin α cosα Για απειροστές στροφές γύρω από τό άξονα θα βρείτε ότι δa δα( A) στροφές γύρω από τον άξονα y, δa δα( y ) A και και για απειροστές